Ja, es ist grundsätzlich kein Problem, Reifentypen, -breiten und sogar -durchmesser zu mischen. Der hintere Reifen trägt mehr Gewicht und verschleißt im Allgemeinen schneller, so dass dies bei der Auswahl verschiedener Reifen eine Rolle spielen kann.
Vorne und hinten sind sehr unterschiedlichen Kräften ausgesetzt, und es kann gute Gründe dafür geben, unterschiedliche Reifen zu verwenden. Vorne ermöglicht ein schmaler Reifen mit leichtem Profil das Einlenken mit weniger Kraftaufwand, hinten ist das nicht so wichtig. Andererseits ist der Vorderreifen für etwa ¾ der Bremsleistung verantwortlich, was für ein stärkeres (oder zumindest nicht abgenutztes) Profil spricht. In Bezug auf seitliches Schleudern auf glatten/losen Oberflächen führt ein Schleudern des Vorderreifens wahrscheinlich zu einer unkontrollierteren Situation (d.h. mehr Straßenausschlag) als ein Schleudern des Hinterreifens, aber es ist schwieriger, den Vorderreifen überhaupt erst ins Schleudern zu bringen, daher ist es schwer zu sagen, wie der Reifentyp dies beeinflussen würde.
Und (wahrscheinlich hauptsächlich aufgrund des Gewichtsunterschieds) treten Reifenpannen bei Hinterreifen 2-4 mal häufiger auf als bei Vorderreifen.
Bei einem gebrauchten Fahrrad können die Reifen natürlich unterschiedlich sein, einfach weil sie nicht paarweise ersetzt wurden. Ich würde sagen, dass dies im Allgemeinen kein Problem darstellt, solange sie ungefähr gleichwertig sind. Wenn der vordere Reifen jedoch viel “schwerer” ist als der hintere, würde ich dazu tendieren, sie zu tauschen.